1) A = { 1 , 2 , { 3 , 4 },5 , 6 } ise,

A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm :

{ 3 , 4 } tek eleman olarak sayılacaktır , bu durumda A kümesinin eleman sayısı 5 tane S( A ) = 5 olur.

2) A = { x | , -3 < x < 5 , x ∈ Z } ise A kümesinin elemanları hangileridir?

Çözüm:
A = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } olur . S ( A ) = 7 elemanlıdır.

3)

 A = { x | , -3 < x < 5 , x ∈ N } ise A kümesinin elemanları hangileridir?

Çözüm: x ∈ N , yani kümenin elemanları -3 ile 5 arasındaki

doğal sayılar olur.

A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } olur . S ( A ) = 5 elemanlıdır.

4)

A = { a , b , c } kümesinin alt kümelerini yazınız , alt küme sayısı kaçtır ?

Çözüm:

Sıfır elemanlı alt küme : { } , 1 tane

Bir elemanlı alt kümeler : { a } , { b } , { c } 3 tane

İki elemanlı alt kümeler : { a , b } , { a , c } , { b , c } 3 tane

Üç elemanlı alt kümeler : { a , b , c } 1 tane

Alt küme sayısı toplamı : 1 + 3 + 3 + 1 = 8 tane olur. Ayrıca ,

Alt küme sayısı = 2 ⁿ = 2 ³ = 2 . 2 . 2 = 8 olur.

5)

A = { a , b , c , d , e , f } kümesinin alt küme sayısı ve öz alt küme sayısı kaçtır ?

Çözüm:

S ( A ) = 6 ise n = 6 alınır.

Alt küme sayısı = 2 ⁿ = 2 ⁶ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 olur.

Özalt küme sayısı = 2 ⁿ - 1 = 64 - 1 = 63 olur.

6)

32 tane alt kümesi olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm :

2 ⁿ = 32 ise n sayısı kümenin eleman sayısıdır.

Kaç tane 2 nin çarpımı 32 olur diye düşünürüz.

32 : 2 = 16 , 16 : 2 = 8 , 8 : 2 = 4 , 4 : 2 = 2 , 2 : 2 =1 olup,

5 kez 2 ye bölme işlemi uygulandı . n = 5 olur.

küme 5 elemanlıdır.

7 )

127 tane öz alt kümesi olan bir küme kaç elemanlıdır?

Çözüm :

2 ⁿ -1 = 127

2 ⁿ = 127+ 1

2 ⁿ = 128 , ise n sayısı kümenin eleman sayısıdır.

Kaç tane 2 nin çarpımı 128 olur diye düşünürüz.

128: 2 = 64 , 64 / 2 = 32 ,

32 : 2 = 16 , 16 : 2 = 8 , 8 : 2 = 4 , 4 : 2 = 2 , 2 : 2 =1 olup,

7 kez 2 ye bölme işlemi uygulandı . n = 7 olur.

küme 7 elemanlıdır.

8 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde "b" eleman olarak bulunmaz ?

Çözüm : Bu gibi sorularda verilen eleman hariç tutulup ,

geriye kalan elemanlardan oluşan yeni kümenin alt küme sayısı cevap olur. b hariç ,

{ a , c , d , e } kümesinden oluşan alt kümeler

aynı zamanda A kümesininde içinde "b" olmayan alt kümeleri olmaktadır .

O halde , cevap 2 ⁴ = 16 tanesinde b olmaz.

9 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde "b" eleman olarak bulunur ?

Çözüm :

Bütün alt kümeler - İçinde "b" olmayan alt kümeler

cevap: 2 ⁵ - 2 ⁴ = 32 - 16 = 16 tanesinde de b bulunur.

10 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya c eleman olarak bulunur ?

Çözüm :

Bütün alt kümeler - İçinde a ve c ( ikisi aynı anda bulunmayan ) alt kümeler

cevap: 2 ⁵ - 2 ³ = 32 - 8 = 24 tanesinde a veya c den biri mutlaka vardır.

11 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve c eleman olarak bulunur ?

Çözüm :

a ve c bulunur demek ikisi aynı anda kesin var demek .

a ile c hariç {b , d , e } kümesinden oluşan alt kümeler

2 ³ = 2.2.2 = 8 tanedir , Şimdi bu 8 tane kümenin içine

a ve c yi de biz eklediğimizi düşündüğümüzde ,

o zaman içinde a ve c nin kesin bulunduğu alt kümelerin de 8 tane

olduğu anlaşılacaktır.

cevap 8 dir.

12 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunup b eleman olarak bulunmaz ?

Çözüm :

a ve b yi ilk önce saymayız , oluşan alt kümelere a yı sonradan yazdığımızı düşünüyoruz.

a ile b hariç {c , d , e } kümesinden oluşan alt kümeler

2 ³ = 2.2.2 = 8 tanedir , Şimdi bu 8 tane kümenin içine

"a" yı eklediğimizi düşündüğümüzde ,

o zaman içinde a nıın olduğu b nin olmadığı alt kümeler oluşur , 8 tane olduğu anlaşılacaktır.

cevap 8 dir.

13 )

A={a, b , 1, ,2, 4 } B={a, c , 1 , 3 , 5 , 7 } kümeleri veriliyor. Birleşim ve kesişim kümelerini yazınız.

Çözüm :

Kesişim kümesine , her iki kümede de olan ortak elemanlar yazılır.

A ∩ B = {a, 1 }

Birleşim kümesine ise her iki kümedeki bütün elemanlar yazılır , ancak bir eleman iki kez yazılmaz bir kez yazılır.

A ∪ B = {a, b , c , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 }

14)

A ∩ B ≠{ }

S ( A ) = 2 . S ( B )

2 .S ( A \ B) = 5. S ( B \ A )

olduğuna göre , B kümesi en az kaç elemanlıdır?

Çözüm :

S ( A \ B) = 5x ,  S ( B \ A ) = 2x   diyelim. S ( A ∩ B ) = c olsun.

S ( A ) = 5x + c    ve   S ( B ) = 2 . x + c olur.

S ( A ) = 2 . S ( B ) ise ,

5x + c = 2 . ( 2 . x + c )

5x + c = 4x + 2 c

5x - 4x = 2c -c

x = c olur .

Bu durumda S ( B ) = 2 x + c = 2 c + c = 3.c olup,

c = 1 için en az S( B ) = 3 elemanlı olur.

15 )

Herkesin en az bir oyun oynadığı 30 kişilik bir sınıfta , Futbol oynayan 20 , Basketbol oynayan 16 kişi ise , her iki oyunu da oynayan kaç kişi vardır?

Çözüm :

S ( F ) = 20 ,  S ( B ) = 16 ,  S ( F ∪ B ) = 30 , S ( F ∩ B ) = ?

Formül den ;

S ( F ∪ B ) = S ( F ) + S ( B ) - S ( F ∩ B )

30 = 20 + 16 - S ( F ∩ B )

S ( F ∩ B ) = 36 - 30

S ( F ∩ B ) = 6     kişi vardır.

16)

S ( A -B ) = 2 . S( B - A) = 3 S (A ∩ B ) ve

S ( A ) - S ( B ) = 6 olduğuna göre S ( A ∪ B ) =?

Çözüm :

Bu tür sorularda kat sayıların ekok u alınır .

Ekok ( 1, 2, 3 ) = 6 olur. Buradan

S ( A -B ) = 6k , S( B - A) = 3k ve S (A ∩ B )= 2k denir.

Şekil üzerine verilenleri yazalım .

S ( A ) = 6k + 2k = 8k , S ( B ) = 3k + 2k = 5k

S ( A ) - S ( B ) = 6 ise

8k - 5k =6 , 3 k = 6 ise k=6/3 , k=2 olur.

S ( A ∪ B ) = 6k + 2k + 3k = 11 k = 11 . 2 = 22 olur.

17)

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 bulunur ?

Çözüm :

Bu tür sorularda 7 elemanlı bir kümenin

3 elemanlı alt küme sayısı

C ( 7 , 3 ) = 35 ( 7 nin 3 lü kombinasyonu )

35 tane 3 elemanlı alt küme var demektir .

Ancak bunların bazılarında 4 vardır , bazılarında yoktur .

Şimdi 4 ü ayrı tutup , 4 ün olmadığı 3 elemanlı

alt kümeleri oluşturacak olursak ,

Geriye 6 eleman kalacaktır .

C ( 6 , 3 ) = 20 olup bunlarda 4 elemanı bulunmaz.

O halde Bütün 3 elemanlı alt kümelerden ,

İçinde 4 ün bulunmadığı 3 elemanlı alt kümeleri çıkarırsak,

geriye içinde 4 bulunan 3 elemanlı alt kümeler kalır.

Cevap :

C ( 7 , 3 ) - C ( 6 , 3 ) = 35 - 20 = 15 olur.

2. YOL :

4 hariç geriye A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 } 6 eleman kalır .

Bu 6 elemandan oluşan 2 elemanlı alt kümeler

C ( 6 , 2 ) = 6.5 / 2.1 = 15 tanedir .

İşte bu 15 tane kümenin içine 4 ü eleman olarak

eklediğimizde oluşan kümeler hem 3 elemanlı

hemde içinde 4 ün bulunduğu kümeler olur.

15 tanedir bunlar.

18)

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 bulunur , 5 bulunmaz ?

Çözüm :

4 ve 5 hariç geriye 5 eleman kalır .

İstenen alt kümeler 3 elemanlı olduğundan ,

bu 5 elemandan oluşan 2 elemanlı alt kümeleri

yazıyoruz . Niye 2 elemanlı , çünkü daha sonra

bunların içine bulunsun dediği 4 ü ekleyeceğiz.

C ( 5 , 2 ) = 5.4 / 2 . 1 = 20 / 2 = 10 tanedir.

Bu 10 tane kümede 4 ve 5 yoktur ve 2 elemanlıdırlar.

Bunlara 4 ü yazarsak hem 3 elemanlı olurlar hemde içinde

4 vardır 5 yoktur. Cevap 10 dur.

19 )

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , l , m }

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde "a" ve "b" bulunup , "c" bulunmaz ?

Çözüm :

Bu tip sorularda izlenecek yol şudur ;

Normalde 11 elemanlı bu kümenin 4 elemanlı alt kümeleri ;

C ( 11 , 4 ) kadardır .

Soruda verilen 3 tane elemanı 11 den çıkarıyoruz.

Sonra 4 elemandanda bulunması istenilen kadar eleman için yer açılacak , yani 4 tende 2 çıkacak ( a ve b için).

O halde cevap

C ( 11-3 , 4 - 2 ) = C ( 8 , 2 ) = 8 . 7 / 2 . 1 = 28 olur.

20 )

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , l , m , n , p , r }

kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b , c bulunup , k , m , n bulunmaz ?

Çözüm :

C ( 14 , 6 ) düzenleme yapıyoruz .

14 ten 5 eleman çıkacak , ve

6 dan da 2 çıkacak ( bulunsun denilen kadar .)

Cevap :

C ( 14 -5 , 6 - 2 ) = C ( 9 , 4 ) = 9 .8.7.6 / 4.3.2.1 = 126 olur.

21 )

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , l , m , n , p , r }

kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b veya c bulunup , k , m , n bulunmaz ?

Çözüm :

Bu soruda ise ;

b , c , k , m , n elemanları dışında geriye

14 - 5= 9 eleman kalıyor .

k , m , n bulunmayan bütün 6 elemanlı alt kümelerden , ( 11,6)

b , c , k , m , n bulunmayan 6 elemanlı alt kümeler çıkarılınca (9,6)

geriye içinde b veya c olan, fakat k , m , n elemanlarının olmadığı 6 elemanlı alt kümeler kalacaktır.

Cevap : k , m , n hariç 14 - 3 = 11 eleman kalıyor. ( a ve b var .)

C ( 11 , 6 ) - C ( 9 , 6 ) = 462 - 84 = 378