Mutlak Değerli Denklemler ve Eşitsizlikler Çözümlü Sorular

1)

2. | x- 3 | + 5 . | y - 1 | = 0

olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?

Çözüm:

Mutlak değerli toplamın sonucu 0 a eşit oluyorsa ,

mutlak değerli ifadelerin her biri

ayrı ayrı 0 a eşit olmak zorundadır.

| x- 3 | = 0 ise x -3 = 0 ise x = 3

| y - 1 | = 0 ise y -1 = 0 ise y = 1

x + y = 3 + 1 = 4 olur.

Cevap : C

2)

| x - 7 | = 5

eşitliğini sağlayan x sayıları

aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Mutlak değerin özelliklerine göre

| x | = a ise x = a veya x = - a dir.

x - 7 = 5 veya x - 7 = - 5 ise

x - 7 = 5 ise x = 5 + 7 = 12

x - 7 = - 5 ise x = - 5 + 7 = 2

Ç = { 2 , 12 }

Cevap : E

3)

x < 2 olduğuna göre ,

| x - 2 | - 2 . | 3 - x |

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Mutlak değerin özelliklerine göre ,

mutlak değerin içindeki ifade 0 dan küçük oluyorsa ,

dışarıya ( - ) ile çarpılarak yazılır.

Buna göre x in yerine 2 den küçük bir sayı yazlıcağından

x - 2 sayısı negatif olur . Çünkü küçük sayıdan büyük sayıyı

çıkarma yapılıyor.

| x - 2 | = - ( x - 2 ) = - x + 2 olur.

Ayrıca 3 - x sayısıda pozitif olur.

Mutlak değerin içindeki 3 - x değeri pozitif sayı olacağından

3 - x ifadesi mutlak değer dışına aynen yazılacaktır.

| 3 - x | = 3 - x olarak yazılır.

| x - 2 | - 2 . | 3 - x | = -x + 2 - 2 .( 3 - x ) = - x + 2 - 6 + 2 x

= x - 4 olur.

Cevap : B

4)

| 3 x - 5 | = x + 1

mutlak değerli denklemin reel sayılardaki

çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Mutlak değerin özelliklerine göre

| x | = a ise x = a veya x = - a dir.

3 x - 5 = x + 1 veya 3 x - 5 = - ( x + 1 ) ise

3 x - 5 = x + 1 ise

3x - x = 1 + 5 ve 2 x = 6 olup x = 3 olur.

Ayrıca ,

3 x - 5 = - ( x + 1 ) ise

3x - 5 = - x - 1

3x + x = -1 + 5

4x = 4 olup x = 1 olur.

Ç = { 1 , 3 }

Cevap : B

2.Yol

Mutlak değeri Sıfır yapan kök bulunur,

3x-5= 0 ise x = 5/3 olup,

Sayı doğrusuna göre

kökten önce |3x-5|= - (3x-5) = -3x + 5 olur.

x < 5/3 için , yeni denklem,

-3x + 5 = x + 1 olup x = 1 olup, x < 5/3 koşulunu sağlar.

Kökten sonra |3x-5|= 3x-5 olarak olarak dışarı çıkar.

x > 5/3 için , yeni denklem,

3x-5= x + 1 olup , x = 3 olup , x > 5/3 koşulunu sağlar.

Ç = { 1 , 3 }

5 )

| 2 x - 7 | = - 5 + x

mutlak değerli denkleminin reel sayılardaki

çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Mutlak değerin özelliklerine göre

| x | = a ise x = a veya x = - a dir.

2 x - 7 = - 5 + x veya 2 x - 7 = - ( - 5 + x ) ise

2 x - 7 = - 5 + x ise

2x - x = - 5 + 7 ve x = 2 olur.

Ancak denklemde x in yerine 2 yazıldığında

- 5 + 2 = -3 olup , mutlak değerin sonucu uzunluk

belirttiğinden negatif olan - 3 e eşit olamaz.

Bu yüzden 2 bu denklemin kökü olamaz.

Ayrıca ,

2 x - 7 = - ( -5 + x ) ise 2x - 7 = 5 - x

2x + x = 5 + 7

3x = 12 olup x = 4 olur.

Ancak yine denklemde x in yerine 4 yazıldığında

- 5 + 4 = -1 olup , mutlak değerin sonucu uzunluk

belirttiğinden negatif olan - 1 e eşit olamaz.

Bu yüzden 4 bu denklemin kökü olamaz.

Bu denklemi sağlayan x değeri yoktur.

Çözüm kümesi boş küme olacaktır.

Ç = { }

Cevap : D

6)

denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm :

Mutlak değerli denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,

| x - 1 | = 2 .(x + 2 )

| x - 1 | = 2 x + 4

x - 1 = 2x + 4 veya x - 1 = - ( 2x + 4 )

x - 1 = 2x + 4 ise

- 1 + 4 = 2x - x olur ve 3 = x bulunur.

Ancak 3 denklemde x in yerine yazıldığında

bu denklemi sağlamaz . 3 çözüm kümesine alınmaz.

İkinci denkleme bakalım ,

x - 1 = - ( 2x + 4 ) ise x - 1 = - 2x - 4

x + 2x = - 4 + 1

3x = - 3 ise x = -1

-1 değeri denklemi sağlar . O halde çözüm kümesi

Ç = { - 1 }

Cevap : D

7 )

| | x + 3 | - 1 | = 4

denkleminin kökler toplamı kaçtır?

Çözüm :

İç içe mutlak değer sorusu çözümü ,

| x + 3 | - 1 = 4 veya | x + 3 | - 1 = - 4

| x + 3 | = 5 veya | x + 3 | = - 3

İki ayrı mutlak değerli denklem çözülecek.

İkinci mutlak değerli denklemin sonucu negatif - 3 e eşit

olamaz , çözüm boş kümedir.

Birinci denklemi çözelim.

| x + 3 | = 5 ise x + 3 = 5 veya x + 3 = -5

Bu denklemlerin çözümünden

x = 2 ve x = -8 olur.

Toplamıda -8 + 2 = -6 olur.

Cevap : B

8 )

denklemini sağlayan x değerlerinin

toplamı kaçtır?

Çözüm :

Mutlak değerin özelliklerine göre ,

Kesrin pay ve paydasının mutlak değerleri ayrılabilir.

İçler dışlar çarpımı yapılır.

| - x + 3 | = 7 / 5 olur.

- x + 3 = 7 / 5 veya - x + 3 = - 7 / 5

denklemler ayrı ayrı çözülünce

x = 8/5 veya x = 22 / 5 olur . toplamları 30/5 = 6 olur.

Cevap : A

9)

| 3 x - 2 | + 5 < 7

mutlak değerli eşitsizliğinin reel sayılardaki

çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm:

Ç = ( 0 , 4 / 3 )

Cevap : A