Fonksiyonlarda Limit ve süreklilik Çözümlü Soruları :
1) f ( x ) = x fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limiti kaçtır?
|
Çözüm: f(x) = x fonksiyonun grafiğinde x = 2 noktasına, x e 2 den küçük değerler verilip soldan yaklaşılırsa , doğru üzerindeki bu x değerlerine karşılık gelen f ( x ) =y değerleride y ekseni üzerinde 2 ye yaklaşır. Aynı şekilde x ekseni üzerinde x e , 2 ye yakın olan sağdan değerler verilince bu değerlere karşılık gelen y sayılarıda y ekseni üzerinde 2 ye yaklaşıyor. o zaman x 2 ye giderken lim f ( x ) = lim f ( 2 ) = 2 olur. |
|||||||||||||||||||||||||
2) f ( x ) = 2x + 5 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limiti kaçtır?
|
Çözüm: Grafik çizildiğinde x = 3 değerine karşılık gelen y değeri bu fonksiyonun x = 3 noktasındaki limiti olur. Çünkü grafikte 3 e sağdan ve soldan yaklaşılınca , yani 3 ün solundan ve sağından verilen bütün değerler için karşılık gelen y değerleri 11 e yakın olacaktır. Bir fonksiyonun bir noktada limitinin var olması için, o noktadaki soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Bunun grafiğinde bir kopukluk yoktur. Bu yüzden x e direk 3 yazarız ve limiti buluruz.
|
|||||||||||||||||||||||||
3)
f ( x ) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limiti nedir?
|
Çözüm: f ( x ) parçalı fonksiyon olarak verilmiş ve, x = 1 noktası kritik noktadır. Fonksiyonun grafiği çizildiğinde x = 1 noktasında önce 1 den küçük değerler için y = x - 2 grafiği , 1 den sonraki değerler için ise 2x + 1 in grafiği geçerlidir. 1 e soldan yaklaşırsak 1 den küçük 1 e en yakın noktalar için y = x - 2 grafiğine bakılır ve
1 e sağdan yaklaşırken y değerleride
Bir fonksiyonun istenilen noktada limitinin olması için, o noktada sağdan ve soldan limit değerleri eşit olmalıdır.
Sağdan ve soldan limitler eşit değildir. Fonksiyonun x= 1 noktasında limiti yoktur. |
|||||||||||||||||||||||||
4)
f ( x ) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limiti nedir?
|
Çözüm: f ( x ) parçalı fonksiyon olarak verilmiş ve, x = 1 noktası kritik noktadır. Fonksiyonun grafiği çizildiğinde x = 1 noktasında önce 1 den küçük değerler için y = - x + 1 grafiği , 1 den sonraki değerler için ise x + 1 in grafiği geçerlidir. 1 e soldan yaklaşırsak 1 den küçük 1 e en yakın noktalar için y = - x + 1 grafiğine bakılır ve
1 e sağdan yaklaşırken y değerleride
Bir fonksiyonun istenilen noktada limitinin olması için, o noktada sağdan ve soldan limit değerleri eşit olmalıdır.
Sağdan ve soldan limitler eşit olup Fonksiyonun x= 1 noktasındaki limiti 0 sayısıdır. Not : Aslında soruda verilen fonksiyon , f ( x ) = | x - 1 | fonksiyonudur, yada y = | x - 1 | dir. |
|||||||||||||||||||||||||
5) f : R - { 5 } ----> R ye
fonksiyonunun x = 5 noktasındaki limiti nedir?
|
Çözüm : Paydayı sıfır yapan değer x = 5 noktası kritik noktadır.
x - 5 ler sadeleşince f ( x ) = x + 5 olur. şimdi x = 5 kritik noktası için f ( 5 ) = 5 + 5 = 10 Fonksiyon ( 5 , 10 ) noktasında tanımsız oluyor ve , diğer x noktaları içinde x +5 doğrusunun grafiği geçerlidir. Şimdi limit için sadeleşmiş ifadeye bakıyoruz. 5 e soldan yaklaşılınca f ( 5 )= 5 + 5 = 10 5 e sağdan yaklaşılınca f ( 5 )= 5 + 5 = 10 oluyor.
O halde sağdan ve soldan limitler var ve eşittir. limit 10 değeridir. |
|||||||||||||||||||||||||
6)
limiti kaça eşittir?
|
Çözüm : Limit alma kuralı ,
pratik özelliğe göre cevap 7 olur. |
|||||||||||||||||||||||||